Exponentialfunktion

Exponentialrechnung

1. Exponentialfunktionen sind im Grunde genommen alle so aufgebaut:

f(x) = a*b^x
Dabei entspricht...
a = Anfangswert
b = Basis (Wachstumsfaktor)
x = Exponent

DER WACHSTUMSFAKTOR b IST IMMER POSITIV.

Exponentialfunktionen benutzt man, um Wachstumsvorgänge zu beschreiben. Exponentielles Wachstum wird
häufig durch Angabe einer prozentualen Zunahme beschrieben. Nimmt eine Größe G um p% im 1. Jahr zu,
so wächst sie auf G+G*p%/100 = (durch ausklammern) G*(1+p%/100). Eine Zunahme um p% ergibt daher den Wachstumsfaktor b = 1+p%/100.

	Dieser Graph stellt ein exponentielles Wachstum dar. b > 1 = Zunahme
	Dieser hingegen, stellt einen exponentiellen Zerfall dar. 0 < b < 1 = Abnahme

Neugierig geworden?
Hier unten kannst du eine Zahl für a und b eingeben um y auszurechnen.
X ist in diesem Falle 2. Die Funktion lautet also: f(x) = a*b²

2. Exponentialgleichung:
Hier ein kleines Beispiel, wie man die Gleichung 5^x+1 = 13 löst.

5^x+1 = 13 | log₅
<=> log₅5^x+1 = log₅13
Die roten Fünfen kürzen sich weg (beachte Punkt 1 bei MERKE).
<=>x+1 = log₅13 | -1
<=>x = log₅13-1

MERKE:
1. log_aa^x = x
2. a^x und log_ax sind Umkehrfunktionen zueinander.
3. Logarithmenregeln werden euch auf der Seite "Logarithmenrechnung" erklärt.

Diese beiden Graphen sind Umkehrfunktionen zueinander.

3. Logarithmusgleichung:
Hier ein kleines Beispiel wie man die Gleichung log_a(h*x) = g löst.

log_a(h*x) = g | a^(...)
Durch die Äquivalenzumformung der Basis a, kürzen sich die beiden roten as weg (beachte MERKE).
<=> h*x = a^g | /h
<=> x = a^g/h

4. Textaufgabe

Aufgabe:
Eine Braunalge verdoppelt jede Woche ihre Höhe. Zu Beginn der Beobachtung ist sie 1,20m hoch.
Das Wasser ist an dieser Stelle 30m tief.

Frage:
Wie viele Wochen dauert es, bis die Braunalge an die Wasseroberfläche gelangt?

Lösungsvorschlag:
Schreibe zuerstmal alle gegebenen Angaben auf

x	y
0	1,20
In der Aufgabe steht, dass die Braunalge am Anfang 1,20m hoch ist. Also lautet der Anfangswert 1,20 (m). Zudem haben wir noch die Information, dass sich die Länge der Alge pro Woche verdoppelt.
1	1,20 + 1,20 * 1 --> 1,20 * 2¹
2	1,20 * 2²
x	1,20 * 2^x
Der Exponent stellt die Zeit dar. Also bei der 1. Woche 1,20 * 2¹ Die 2 stellt den Wachstumsfaktor dar. Den berechnet man bei einem Wachstumsvorgang so: 1 + P/100. In diesem Fall ist es 1 + 100%/100 = 2.

Zudem wird gesagt,dass das Wasser 30m tief ist.
Das heißt also, dass die Alge über 30m hoch sein muss, wenn sie über die Wasseroberfläche rausragt.
30m stellt in diesem Fall das Y-Wert dar. Gesucht ist also die Zeit x.
Jetzt muss man den Y-Wert nur noch in die Gleichung einfügen und nach x auflösen.

30m = 1,20m * 2^x | /1,20m
<=> 25 = 2^x | log₂
<=> log₂(25) = x
<=> x = 4,64

Antwort:
Es dauert also ca. 5 Wochen bis die Braunalge über das Wasser ragt.