Logarithmen

Logarithmen benötigt man vor allem zur Lösung von Exponentialgleichungen.
Beispiel:

Man spart 1000 Euro mit einem Zinssatz von 5% (mit Zinseszinsen) an und möchte wissen, nach wie vielen Jahren sich das Kaptial auf 2000 Euro verdoppelt hat.

Dabei liegt folgende Gleichung zu Grunde:
2000 = 1000*1,05^x

Man sucht hier die Hochzahl x (Anzahl der Jahre).
Solche Hochzahlen kann man nur durch Logarithmieren ermitteln.

Definition des Logarithmus zur Basis b:

x = log_b(a)<=> a=b^x

Beispiel:
x=log₂(32)<=> 32=2^x

Lösung:
x=5
Man liest: "Logarithmus von 32 zur Basis 2=5, da 2⁵=32 ".

Und dies kann man ganz einfach mit dem Taschenrechner berechnen. Beachte dabei, du musst log₂(32) folgendermaßen in deinen Taschenrechner eingeben:
log₂(32) und du erhältst: log₂(32)=5

Den Logarithmus zur Basis e (e ist die Eulersche Zahl = 2.718..) kannst du hier direkt berechnen lassen:

log_E=

Das Gehäuse eines Nautilus zeigt eine logarithmische Spirale.




Eine logarithmische Spirale.


Logarithmusgesetze (für u>0; v>0; a>0; a ungleich 1):

1.Gesetz:

log_a(u*v)=log_a(u)+log_a(v)

Beispiel:

lg(7*a)=lg7+lg(a)
log_a(9*b*4f)=log_a9+log_ab+log_a4+log_af
(Beachte, dass das Gesetz nur bei Logarithmen mit gleicher Basis gilt!)

Der Logarithmus eines Produktes ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren.
2.Gesetz:

log_a(u/v)=log_a(u)-log_a(v)

Beispiel:

log_a(8/4)=log_a(8)-log_a(4)

Der Logarithmus einer Division ist gleich der Differenz der Logarithmen von Dividend und Divisor.
3.Gesetz:

log_a(u^r)=r*log_a(u)

Beispiel:

log_a(u²)=2*log_a(u)

Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Produkt von dem Exponenten und dem Logarithmus der Basis.

Basiswechsel:

log_b(a)=c <=> c=log_x(a)/log_x(b)


Aufgaben zum Rechnen mit Logarithmen:

1.Schreibe als Summe oder Produkt mit einfachen Logarithmen.

a) lg(4x) ;

b) lg(u³) ;

c) loga(avc) ;

d) loga(y²)

2.Schreibe als einen Logarithmus.

a) lg(x)+lg(3z) ;

b) loga(y²)-loga(y) ;

c) lg(ab)-lg(a²b) ;

d) loga(a)-loga(a²)

Lösungen:

1.

a) lg(4x)=lg(4)+lg(x)

b) lg(u³)=3lg(u)

c) loga(avc)=loga(a)+loga(v)+loga(c)=1+loga(v)+loga(c)

d) loga(y²)=2loga(y)

2.

a) lg(x)+lg(3z)=lg(3xz)

b) loga(y²)-loga(y)=loga(y²/y)=loga(y)

c) lg(ab)-lg(a²b)=lg(ab/a²b)=lga-1

d) loga(a)-loga(a²)=loga(a/a²)=loga(a-1)=-1

Beispiele:

Definition des pH-Wertes:

Für sehr starke Säuren (pks-Wert<0) gilt:
Der pH-Wert ist der mit -1 multiplizierte dekadische Logarithmus der Aktivität der Oxoniumionen:



Die Aktivität ist dabei in diesem Fall über das chemische Potenzial definiert und somit dimensionslos. Diese Definition des pH-Wertes wird bei einfachen Berechnungen jedoch selten verwendet. Vielmehr begnügt man sich aus Gründen der Vereinfachung mit der Näherung, dass die Oxoniumaktivität für verdünnte Lösungen gleich der Konzentration der Oxoniumionen (in mol / dm3) gesetzt wird:




Definition von Bel und Dezibel:

Das Bel dient zur Kennzeichnung des dekadischen Logarithmus des Verhältnisses zweier gleichartiger Leistungs- bzw. Energiegrößen P1 und P2:



Für L ergibt sich z. B. der Wert ein Bel (B), wenn das Leistungsverhältnis P1 / P2 = 10 ist. Das gebräuchlichere Dezibel (dB) wird mit Hilfe des Einheitenvorsatzes Dezi (Symbol d) gebildet: