Prozentrechnung

Um Anteile besser vergleichen zu können, gibt man sie häufig in Prozent (Hundertstel) an.

Berechnet man 20% von 300€, so erhält man 60 €.
Hierbei nennt man 20% den Prozentsatz.
300€ den Grundwert.
60€ den Prozentwert.

Berechnung des Prozentwertes:
Gegeben: Grundwert G. Prozentsatz p%. Gesucht: Prozentwert P.
1. Möglichkeit: mit Bruchrechnung 2. Möglichkeit: mit Dreisatzschema
Prozentwert = Grundwert • Prozentsatz.

Formel: P = G • p/100

Dem Grundwert wird 100% zugeordnet.

100% • G
1% → G/100
p% → G/100 • p = P

Beispiel 1:
Berechne 15 % von 37kg.
Lösung mit der Bruchrechnung: Lösung mit dem Dreisatztschema:
P = 37kg • 15/100
= 37kg • 0.15
= 55,5kg 		100% → 37kg
1% → 0,37kg (= 37kg : 100)
15% → 5,55kg (= 0,37kg • 15)

Beispiel 2:
Frau Meister kauft einen Kühlschrank für 635€. Bei sofortiger Zahlung, man nennt das Barzahlung, erhält sie 3% "Skonto". Das bedeutet, sie erhält einen Preisnachlass in Höhe von 3% des Kaufpreises.
Berechne Skonto und den Preis der Barzahlung.
Lösung:
Skonto: P = 635€ • 0,03 = 19,05€. Barzahlung: 635€ • 0,97 = 615,95€.

Prozentwert berechnen:
% von

Berechnung des Grundwertes:
Gegeben: Prozentwert P. Prozentsatz p%. Gesucht: Grundwert G.
1. Möglichkeit: 2. Möglichkeit:
Grundwert = Prozentwert/Prozentsatz

Formel: G = P : p/100

p% → P
1% → P/p
100% → P/p • 100 = G

Beispiel 1:
Berechne den Grundwert G, wenn der Prozentwert 40€ und der Prozentsatz 8% beträgt.
Lösung mit der Bruchrechnung: Lösung mit dem Dreisatzschema:
G = 40€ : 8/100
G = 40€ : 0,08
G = 500€ 		8% → 40€
1% → 5€ (= 40€ : 8)
100% → 500€ (= 5€ • 100)

Beispiel 2:
Der Preis für eine Hose wird um 15% auf 72.25€ herabgesetzt.
Berechne den alten Preis.
Hier sind die 72.25€ genau 100% - 15% = 85% des alten Preises.
Die Lösung mit der Bruchrechnung: Der alte Preis beträgt G = 72,25€ : 0,85 = 85€.

Grundwert berechnen:
macht %

von

Berechnung des Prozentsatzes:
Gegeben: Prozentwert P. Grundwert G. Gesucht: Prozentsatz p%.
1. Möglichkeit: 2. Möglichkeit:
Prozentsatz = Prozentwert/Grundwert

Formel: p% = p/100 = P/G

G → 100%
1 → 100/G%
P → 100/G • P% = p%

Beispiel 1:
Von den 1146 Schülern einer Schule kommen nach der Befragung regelmäßig 293 mit dem Bus.
Berechne den Anteil der mit dem Bus kommenden Schüler in Prozent. Runde auf Zehntel-Potenz.
Lösung durch Division: Lösung mit dem Dreisatzschema:
p% = 293/1146 =
= 293 : 1146
= 0,2556...
≈ 0,256 = 25,6% 		1146 → 100%
1 → 100/1146%
293 → 100/1146 • 293% ≈ 25,6%

Beispiel 2:
Bei einer Überprüfung von 250 Fahrrädern wurden bei 73 Fahrrädern leichte und bei 17 Fahrrädern schwere Mängel festgestellt.
Bestimme die absoluten und relativen Häufigkeiten.
Lösung durch Division:
leichte Mängel: absolute Häufigkeit: 73; relative Häufigkeit: 73 : 250 = 0,292 = 29,2%
schwere Mängel: absolute Häufigkeit: 17; relative Häufigkeit: 17 : 250 = 0,068 = 6,8%

Prozentsatz berechnen:
von

%

Zinsrechnung

Der Jahreszins

Nimmt man den Jahreszins als Prozentwert,
den Zinssatz als Prozentsatz
und das Kapital als Grundwert, so rechnet man wie bei der Prozentrechnung.

Jahreszins (JZ) = Zinssatz (ZS) • Kapital (K)

Berechnung des Grundwertes:
Gegeben: Prozentwert P. Prozentsatz p%. Gesucht: Grundwert G.
1. Möglichkeit: 2. Möglichkeit:
Grundwert = Prozentwert/Prozentsatz

Formel: G = P : p/100

p% → P
1% → P/p
100% → P/p • 100 = G

Beispiel:
Jasmin hat am Jahresanfang 1500 € auf dem Sparkonto (2% Zins). Wieviel Geld hat sie am Jahresende erspart?
Lösung: x = 0,02 • 1500€ = 2 • 15€ = 30€

Zins für andere Zeiträume

Andere Zeiträume rechnet man mit dem Dreisatz auf ein Jahr um und erhält so den Jahreszins.

Beispiel:
Johannes hebt sein eingezahltes Kapital bereits nach 3 Monaten wieder ab. Wie groß war das Kapital, wenn er bei einem Zinssatz von 2,5% nach 3 Monaten 12 € Zinsen erhält?
Lösung:
Die Formel lässt sich nicht berechnen, da sowohl (JZ) als (K) fehlt.
Der JZ lässt sich aber mit Dreisatz berechnen:
In 3 Monaten erhält er 12 € Zinsen.
In 12 Monaten erhält er 12 • 4 = 48 € Zinsen.
Der Jahreszins beträgt also 48 €.

48 € = 0,025 • x
x = 48 € : 0,025 = 48 € • 40 = 1920 €
Das Kapital beträgt also 1920 €.

Zinseszins

Zur Berechnung des Zinseszins berechnet man das Kapital von Jahr zu Jahr neu, indem man den jeweiligen Jahreszins addiert.

Beispiel:
Die Familie Meyer hinterlegt 12400 € für 2 Jahre auf der Bank. Der Zinssatz beträgt 2,5%. Wieviel Geld befindet sich nach 2 Jahren insgesamt auf dem Konto?
Lösung:
Da die Berechnung über den Jahreszins erfolgt, und der Zins im folgenden Jahr als Kapital mitzählt, ist es sinnvoll zwei Rechnungen hintereinander auszführen.

1. Jahr: x = ZS • K = 0,025 • 12400 € = 310 €
Im ersten Jahr kommt also ein Zins von 310 € hinzu.
Kapital nach einem Jahr: 12400 € + 310 € = 12710 €
2. Jahr: x = ZS • K = 0,025 • 12710 € = 317,75 €
Im zweiten Jahr kommt also ein Zins von 317,75 € hinzu.
Kapital nach dem zweiten Jahr: 12710 € + 317,75 € = 13027,75 €

Nach zwei Jahren befinden sich 13027,75 € auf dem Konto.