Potenzrechnung

Potenzen mit natürlichem Exponenten

Zunächst beschäftigen wir uns mit dem Fall, dass b eine natürliche Zahl, also 1, 2, 3, ... ist. In diesem Fall ist ab eine abkürzende Schreibweise für die b-fache Multiplikation von a mit sich, in derselben Art, wie a mal b eine Abkürzung für a+...+a ist, wobei b Summanden auftauchen. Es ist also



Beispiele von Potenzen mit natürlichem Exponenten

Es ist 2² = 4, denn
Es ist 2⁵ = 32, denn
Es ist (-3)³ = -27, da
Es ist (1/4)³ = 1/64, da



Potenzen mit ganzem Exponenten


In diesem Abschnitt wollen wir der Potenz ab auch für beliebige ganze Zahlen b einen Sinn geben. Dies soll - wie fast immer in der Mathematik - so geschehen, dass möglichst viele "schöne" Eigenschafen erhalten bleiben. Betrachten wir etwa


Beispiele von Potenzen mit ganzzahligem Exponenten

Es ist 2^-1 = 1/2, da

Es ist 3^-3 gerade 1/27, denn

Es ist (-2)^-2 = 1/4, denn

Es ist (1/4)^-3 = 64, da


Es ist (-1/2)⁰ = 1.



Potenzgesetze

Der Begriff Potenzgesetze bezeichnet einige wichtige, beim Berechnen von Potenzen oft hilfreiche, Rechengesetze, die im Folgenden aufgezählt und kurz erläutert werden sollen. (ohne mathematischen Beweis)

Multiplikation von Potenzen


Vielleicht ist es für den einen oder anderen einprägsamer, sich die Regeln in Prosa zu merken, man kann sie wie folgt formulieren:
1. Potenzen gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert und die Basis beibehält.
2. Potenzen von gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und den gemeinsamen Exponenten beibehält. Wie versprochen, wollen wir die Regeln nun kurz erläutern:
Wie bei den meisten der hier betrachteten Gesetze sind sie für natürliche Exponenten recht leicht einzusehen.

Das erste besagt dann, dass das Produkt eines Produktes von b Faktoren a mit einem Produkt von c Faktoren a ein Produkt von b+c Faktoren a ist.




Division von Potenzen

Wieder gibt es Regeln für den Fall gleicher Basen und gleicher Exponenten, sie lauten


Formulieren wir die Gesetze ebenfalls in Prosa, lauten sie:
1. Potenzen gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert und die Basis beibehält.
2. Potenzen von gleichem Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert und den gemeinsamen Exponenten beibehält.
Auch hier wollen wir eine kurze Erläuterung zum Beweis geben: Wieder wollen wir uns auf den Fall natürlicher Exponenten beschränken, das erste der beiden Gesetze besagt dann gerade, dass


ist also einfach die Feststellung, dass man gleiche Faktoren kürzen kann. Das zweite Gesetz hat mit der Multiplikationsregel der Bruchrechnung zu tun, es besagt, dass

denn man kann Brüche multiplizieren, indem man dies für Zähler und Nenner tut.